نصائح مفيدة

حل رسومي للمعادلات ، عدم المساواة

Pin
Send
Share
Send
Send


إحدى الطرق الأكثر ملاءمة لحل عدم المساواة المربعة هي الطريقة الرسومية. في هذه المقالة ، سنبحث في كيفية حل التفاوتات المربعة بالرسوم البيانية. أولاً ، نناقش ما هو جوهر هذه الطريقة. ثم نعطي خوارزمية وننظر في أمثلة لحل التفاوتات المربعة بطريقة رسومية.

التنقل في الصفحة.

جوهر الطريقة الرسومية

عموما طريقة الرسم لحل عدم المساواة مع متغير واحد يتم استخدامه ليس فقط لحل عدم المساواة مربع ، ولكن أيضا لعدم المساواة من أنواع أخرى. جوهر الطريقة الرسومية لحل عدم المساواة فيما يلي: ضع في اعتبارك الدالتين y = f (x) و y = g (x) ، والتي تتوافق مع الجانبين الأيسر والأيمن من عدم المساواة ، ورسموا الرسوم البيانية الخاصة بهم في نظام إحداثيات مستطيل الشكل واكتشف في أي فترات يكون الرسم البياني لأحدهم أقل أو أعلى من الآخر. تلك الثغرات التي

  • يمثل الرسم البياني للدالة f أعلى الرسم البياني للدالة g حلولًا لعدم المساواة f (x)> g (x) ،
  • رسم بياني لوظيفة f لا تقل عن رسم بياني لوظيفة g هي حلول لعدم المساواة f (x) ≥g (x) ،
  • يمثل الرسم البياني للدالة f أسفل الرسم البياني للدالة g حلولًا لعدم المساواة f (x) ،
  • رسم بياني لوظيفة f ليست أعلى من رسم بياني لوظيفة g هي حلول لعدم المساواة f (x) ≤g (x).

نقول أيضًا أن حدود نقاط التقاطع في الرسوم البيانية للوظائف f و g هي حلول للمعادلة f (x) = g (x).

نحن ننقل هذه النتائج إلى حالتنا - لحل عدم المساواة التربيعية a * x 2 + b · x + c (≤،>، ≥).

نقدم وظيفتين: الأول y = a · x 2 + b · x + c (في هذه الحالة ، f (x) = a · x 2 + b · x + c) يتوافق مع الجانب الأيسر من عدم المساواة المربع ، والثاني y = 0 (في هذه الحالة ، g (x) = 0) يتوافق مع الجانب الأيمن من عدم المساواة. جدول المواعيد وظيفة من الدرجة الثانية و هو القطع المكافئ ، والرسم البياني وظيفة دائمة g هو خط يتزامن مع محور الإحداثي الثور.

علاوة على ذلك ، وفقًا للطريقة الرسومية لحل أوجه عدم المساواة ، من الضروري أن نحلل عند الفواصل الزمنية التي يكون فيها رسم بياني إحدى الوظائف أعلى أو أسفل الآخر ، مما سيتيح لنا تدوين الحل المطلوب لعدم المساواة المربع. في حالتنا ، نحتاج إلى تحليل موضع القطع المكافئ بالنسبة إلى محور الثور.

بناءً على قيم المعاملات a و b و c ، فإن الخيارات الستة التالية ممكنة (التمثيل التخطيطي يكفي لاحتياجاتنا ، ويمكن حذف محور Oy ، لأن موضعه لا يؤثر على حل عدم المساواة):



في هذا الرسم ، نرى القطع المكافئ التي يتم توجيه فروعها إلى الأعلى والتي تتقاطع مع محور الثور في نقطتين حيث تكون حروفهما x1 و x2 . يتوافق هذا الرسم مع الحالة التي يكون فيها المعامل a موجبًا (يكون مسؤولاً عن الاتجاه التصاعدي لفروع القطع المكافئ) ، وعندما تكون القيمة موجبة تمييز ثلاثي الحدود مربعة a · x 2 + b · x + c (ثلاثي الحدود له جذران ، حددناهما x1 و x2 ، وقبلنا ذلك س1 ، بما أنه على محور الثور نقطة مع الإحداثي السيني x1 إلى يسار النقطة س2 ). إذا كنت تريد التفاصيل ، فقم ببناء القطع المكافئ y = x 2 --x - 6 ، معاملها a = 1> 0 ، D = b 2 −4 · a · c = (- 1) 2 −4 · 1 · (−6) = 25> 0 ، س1= −2 ، س2=3 .

من أجل الوضوح ، دعونا نصوِّر باللون الأحمر أجزاء من القطع المكافئ الموجود فوق محور الإحداثي ، وفي اللون الأزرق - الموجود أسفل محور الإحداثي.

الآن نكتشف الثغرات التي تتوافق مع هذه الأجزاء. سوف يساعدك الرسم التالي في تحديدها (في المستقبل ، سنقوم برسم مخصصات متشابهة في شكل مستطيلات):

حتى على محور الإحداثي ، تم تسليط الضوء على ثغرات باللون الأحمر (−∞ ، x1) و (س2، + ∞) ، حيث تكون القطع المكافئة أعلى من محور الثور ، فهي تشكل حلاً لعدم المساواة التربيعية a · x 2 + b · x + c> 0 ، والفجوة (x1، س2) ، يحتوي على قطع مكافئ أسفل المحور الثور ، إنه حل لعدم المساواة a * x 2 + b · x + c. حلول عدم المساواة المربعة غير الصارمة a * x 2 + b · x + c≥0 و x x 2 + b · x + c≤0 ستكون هي نفس الفواصل الزمنية ، ولكن يجب تضمين الأرقام x فيها1 و x2 المقابلة للمساواة أ 2 × ب + س + ج = 0.

والآن باختصار: من أجل a> 0 و D = b 2 −4 · a · c> 0 (أو D '= D / 4> 0 للمعامل الزوجي b)

  • حل عدم المساواة التربيعية a * x 2 + b · x + c> 0 هو (−∞، x1) ∪ (س2، + ∞) أو ​​في رمز آخر x ، x> x2 ,
  • عن طريق حل عدم المساواة من الدرجة الثانية أ2+ b · x + c≥0 هي (−∞، x1] ∪ [س2، + ∞) أو ​​في تدوين آخر x≤x1 ، x≥x2 ,
  • حل عدم المساواة التربيعية a * x 2 + b · x + c هو (x1، س2) أو في إدخال آخر س1 ,
  • حل عدم المساواة المربع a * x 2 + b · x + c≤0 هو [x1، س2] أو في إدخال آخر س1≤x≤x2 ,

حيث س1 و x2 هي جذور ثلاثية الحدود المربعة a * x 2 + b · x + c و x1 .



هنا نرى القطع المكافئ التي يتم توجيه فروعها إلى الأعلى ، والتي تمس محور الإحداثي ، أي أن لها نقطة واحدة مشتركة معها ، ونشير إلى اختصار هذه النقطة بواسطة x0 . الحالة المعروضة تقابل 0> (يتم توجيه الفروع لأعلى) و D = 0 (ثلاثي الحدود المربع له جذر واحد x0 ). على سبيل المثال ، يمكننا أن نأخذ الوظيفة التربيعية y = x 2 −4 · x + 4 ، وهنا = 1> 0 ، D = (- 4) 2 −4 · 1 · 4 = 0 و x0=2 .

يوضح الرسم بوضوح أن المكافئ يقع فوق محور الثور في كل مكان ، باستثناء نقطة الظل ، أي في الفواصل الزمنية (−∞ ، x0) ، (س0، ∞). من أجل الوضوح ، نختار المناطق الموجودة في الرسم عن طريق القياس بالفقرة السابقة.

نستخلص الاستنتاجات: ل> 0 و D = 0

  • حل عدم المساواة التربيعية a * x 2 + b · x + c> 0 هو (−∞، x0) ∪ (س0، + ∞) أو ​​بترميز آخر x ≠ x0 ,
  • حل عدم المساواة التربيعية a * x 2 + b · x + c≥0 هو (−∞، + ∞) أو ​​في ترميز آخر x∈R،
  • عدم المساواة المربعة a * x 2 + b · x + c لا يوجد لديه حلول (لا توجد فواصل زمنية تقع فيها القطع المكافئة أسفل محور الثور) ،
  • عدم المساواة المربع a * x 2 + b · x + c≤0 له حل فريد x = x0 (يمنحك نقطة اتصال)

حيث س0 هو جذر ثلاثية الحدود المربعة a * x 2 + b · x + c.



في هذه الحالة ، يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى ، وليس لها نقاط مشتركة مع محور الإحداثي. هنا لدينا الشروط a> 0 (يتم توجيه الفروع للأعلى) و D (ثلاثي الحدود المربع ليس له جذور حقيقية). على سبيل المثال ، يمكننا رسم الوظيفة y = 2 · x 2 +1 ، وهنا = 2> 0 ، D = 0 2 −4 · 2 · 1 = −8.

من الواضح ، أن القطع المكافئ تقع فوق محور الثور على طوله بالكامل (لا توجد فواصل تكون تحت محور الثور ، ولا يوجد أي نقطة تماسي).

وبالتالي ، بالنسبة إلى <0 و D ، فإن حل عدم المساواة المربعة a * x 2 + b · x + c> 0 و x x 2 + b · x + c≥0 هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية ، وعدم المساواة a · x 2 + b · x + c و * x 2 + b · x + c≤0 ليس لديهم حلول.

ويظل هناك ثلاثة خيارات لموقع القطع المكافئ مع وجود الفروع الموجهة لأسفل وليس للأعلى بالنسبة إلى محور الثور. من حيث المبدأ ، قد لا يتم أخذها في الاعتبار ، لأن ضرب طرفي اللامساواة بـ −1 يسمح لنا بالانتقال إلى اللامساواة المكافئة بمعامل إيجابي عند x 2. ولكن لا يزال ، لا يضر للحصول على فكرة عن هذه الحالات. المنطق هنا متشابه ، لذلك نكتب فقط النتائج الرئيسية.



ل و D> 0

  • حل عدم المساواة التربيعية a * x 2 + b · x + c> 0 هو (x1، س2) أو في إدخال آخر س1 ,
  • حل عدم المساواة المربع a * x 2 + b · x + c≥0 هو [x1، س2] أو في إدخال آخر س1≤x≤x2 ,
  • حل عدم المساواة التربيعية a * x 2 + b · x + c هو (−∞، x1) ∪ (س2، + ∞) أو ​​في رمز آخر x ، x> x2 ,
  • حل عدم المساواة التربيعية a * x 2 + b · x + c≤0 هو (−∞، x1] ∪ [س2، + ∞) أو ​​في تدوين آخر x≤x1، x≥x2 ,

حيث س1 و x2 هي جذور ثلاثية الحدود المربعة a * x 2 + b · x + c و x1 .



ل و D = 0

  • عدم المساواة المربع a * x 2 + b · x + c> 0 لا يوجد لديه حلول ،
  • عدم المساواة المربع a * x 2 + b · x + c≥0 له حل فريد x = x0 ,
  • حل عدم المساواة a * x 2 + b · x + c هو (−∞، x0) ∪ (س0، + ∞) أو ​​بترميز آخر x ≠ x0 ,
  • حل عدم المساواة التربيعية a * x 2 + b · x + c≤0 هو مجموعة من جميع الأرقام الحقيقية (−∞ ، + ∞) أو ​​في ترميز آخر x∈R ،

حيث س0 هو جذر ثلاثية الحدود المربعة a * x 2 + b · x + c.



بالنسبة إلى A و D ، لا يوجد أي حل للتفاوتات المربعة a * x 2 + b · x + c> 0 و a x 2 + b · x + c≥0 ، وبحلول عدم المساواة a * x 2 + b · x + c و a · X 2 + b · x + c≤0 هي مجموعة جميع الأرقام الحقيقية.

خوارزمية القرار

نتيجة جميع الحسابات السابقة هي خوارزمية لحل عدم المساواة مربع بيانيا:

على المستوى الإحداثي ، يتم إجراء رسم تخطيطي ، يصور عليه محور الثور (محور Oy اختياري) ورسم للمقطعة المقابلة لوظيفة التربيعية y = a · x 2 + b · x + c. لإنشاء رسم مكافئ ، يكفي اكتشاف نقطتين:

  • أولاً ، حسب قيمة المعامل a ، يتضح أين يتم توجيه فروعه (من أجل>> 0 - لأعلى - لأسفل).
  • وثانياً ، تكشف قيمة مُميِّز ثلاثي الحدود المربعة a · x 2 + b · x + c عما إذا كانت القطع المكافئ تعبر محور الإبادة عند نقطتين (بالنسبة إلى D> 0) ، أو تمسها عند نقطة واحدة (عند D = 0) ، أو لا يوجد لديه نقاط مشتركة مع المحور الثور (لل D). للراحة ، يتم الإشارة إلى إحداثيات نقاط التقاطع أو إحداثيات نقطة الظل (في حالة وجود هذه النقاط) في الرسم ، ويتم عرض النقاط نفسها عند ثقب عدم المساواة الصارمة ، أو عادية عند حل أوجه عدم المساواة غير الصارمة.

عندما يكون الرسم جاهزًا ، في الخطوة الثانية من الخوارزمية

  • عند حل عدم المساواة المربعة a * x 2 + b · x + c> 0 ، يتم تحديد الفواصل الزمنية التي تقع عندها القطع المكشوفة فوق الحد الأقصى ،
  • عند حل عدم المساواة a * x 2 + b · x + c≥0 ، يتم تحديد الفواصل الزمنية التي يوجد بها القطع المكافئ فوق محور الإحداثي وتتم إضافة حدود نقطة التقاطع (أو حدود نقطة نقطة الظل) إليهم ،
  • عند حل مشكلة اللامساواة a * x 2 + b · x + c ، هناك فجوات يكون عليها المكافئ أسفل المحور الثور ،
  • أخيرًا ، عند حل مشكلة عدم المساواة المربعة للشكل a * x 2 + b · x + c≤0 ، توجد فجوات تكون عندها القطع المكافئة أسفل محور الثور وتُضاف إليها حدود حروف نقطة التقاطع (أو حاشية نقطة التشابه) ،

إنهم يشكلون الحل المطلوب لعدم المساواة المربعة ، وإذا لم تكن هناك مثل هذه الفجوات ولم تكن هناك نقاط تشابه ، فإن عدم المساواة المربع الأصلي لا يوجد لديه حلول.

يبقى فقط لحل بعض التباينات المربعة باستخدام هذه الخوارزمية.

جوهر الطريقة الرسومية

هذه الطريقة قابلة للتطبيق لحل أي تباينات ، وليس فقط المربعات. جوهرها هو: تعتبر الجوانب اليمنى واليسرى من عدم المساواة وظيفتين منفصلتين y = f (x) و y = g (x) ، يتم تصميم الرسوم البيانية الخاصة بهم في نظام إحداثيات مستطيل ويبحثون عن أي من الرسومات البيانية الموجودة فوق الأخرى ، وأيها فترات. يتم تقدير الفجوات على النحو التالي:

  • حلول عدم المساواة f (x)> g (x) هي الفواصل حيث يكون الرسم البياني للدالة f أعلى من الرسم البياني للدالة g ،
  • حلول عدم المساواة f (x) ≥ g (x) هي الفواصل التي يكون فيها الرسم البياني لـ f أقل من الرسم البياني لـ g ،
  • حلول عدم المساواة f (x) g (x) هي الفواصل حيث يكون الرسم البياني للدالة f أقل من الرسم البياني للدالة g ،
  • حلول عدم المساواة f (x) ≤ g (x) هي الفواصل التي لا يكون فيها الرسم البياني f أعلى من الرسم البياني g ،
  • تُعد حدود نقاط التقاطع في الرسوم البيانية للوظائف f و g حلولًا للمعادلة f (x) = g (x).

النظر في الخوارزمية أعلاه باستخدام مثال. للقيام بذلك ، خذ اللامساواة المربعة a * x 2 + b · x + c 0 (≤،>، ≥) واستخلص وظيفتين منه. سيتوافق الجانب الأيسر من عدم المساواة مع y = a · x 2 + b · x + c (في هذه الحالة ، f (x) = a · x 2 + b · x + c) ، واليمين y = 0 (في هذه الحالة ، g (x) = 0).

الرسم البياني للوظيفة الأولى هو القطع المكافئ ، والثاني هو خط مستقيم يتزامن مع المحور السيني. دعونا نحلل موضع القطع المكافئ بالنسبة إلى المحور O x. للقيام بذلك ، نقوم بإجراء رسم تخطيطي.

حل مع جذور في ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية

يتم توجيه فروع المكافئ. يعبر محور x عند نقاط × 1 و × 2 . معامل a في هذه الحالة هو إيجابي ، لأنه هو المسؤول عن اتجاه فروع المكافئ. المميز هو إيجابي ، مشيرا إلى وجود جذور اثنين في ثلاثي الحدود أ 2 × ب س س ج . جذور ثلاثية الحدود التي حددناها × 1 و × 2 ، وقبلت ذلك × 1 × 2 ، نظرًا لأن النقطة التي تحتوي على علامة abscissa تظهر على المحور O x × 1 إلى يسار نقطة الإبادة × 2 .

تتم الإشارة إلى أجزاء من القطع المكافئ الموجود فوق محور O x باللون الأحمر ، أدناه - باللون الأزرق. هذا سوف يسمح لنا لجعل الصورة أكثر مرئية.

حدد الفجوات التي تتوافق مع هذه الأجزاء وقم بتمييزها في الشكل بحقول بلون معين.

وضعنا علامة حمراء في الفجوات (- ∞ ، x 1) و (x 2 ، + ∞) ، عليها قطع مكافئ فوق المحور O x. هم حل عدم المساواة التربيعية a * x 2 + b · x + c> 0. حددنا باللون الأزرق الفاصل الزمني (× 1 ، × 2) ، وهو حل لعدم المساواة a * x 2 + b · x + c 0. سوف تتطابق الأرقام x 1 و x 2 مع المساواة a * x 2 + b · x + c = 0.

لنجعل سجل موجز للحل. للحصول على> 0 و D = b 2 - 4 · a · c> 0 (أو D '= D 4> 0 للمعامل الزوجي b) نحصل على:

  • حل عدم المساواة التربيعية a * x 2 + b · x + c> 0 هو (- ∞، x 1) ∪ (x 2، + ∞) أو ​​في ترميز آخر x x 1، x> x 2،
  • حل عدم المساواة التربيعية a * x 2 + b · x + c ≥ 0 هو (- ∞، x 1] ∪ [x 2، + ∞) أو ​​، في ترميز آخر ، x ≤ x 1 ، x ≥ x 2 ،
  • حل عدم المساواة التربيعية a * x 2 + b · x + c 0 هو (x 1، x 2) أو في ترميز آخر x 1 x x 2 ،
  • حل عدم المساواة المربع a a x 2 + b · x + c ≤ 0 هو إما في ترميز آخر x 1 ≤ x ≤ x 2،

حيث x 1 و x 2 هما جذر الثلاثية المربعة a * x 2 + b · x + c و x 1 x 2.

حل وحيد الجذر لثلاثية الأبعاد من الدرجة الثانية

في هذا الشكل ، يلمس القطع المكافئ المحور O x في نقطة واحدة فقط ، كما هو موضح × 0 . يتم توجيه فروع المكافئ لأعلى ، مما يعني ذلك > 0 . D = 0 لذلك ، فإن ثلاثي الحدود مربع له جذر واحد × 0 .

تقع القطع المكشوفة تمامًا فوق محور O x ، باستثناء نقطة تلامس محور الإحداثيات. نشير حسب اللون إلى الفواصل الزمنية (- ∞ ، x 0) ، (x 0 ، ∞).

سجل النتائج. في > 0 و D = 0 :

  • حل عدم المساواة المربع a x 2 + b x x c> 0 هي (- ∞، x 0) ∪ (x 0، + ∞) أو ​​في رمز آخر x ≠ x 0 ,
  • حل عدم المساواة المربع a x 2 + b x x c ≥ 0 ومن ( − ∞ , + ∞ ) أو في ترميز آخر x ∈ R ،
  • عدم المساواة مربع a x 2 + b x x c 0 لا يوجد لديه حلول (لا توجد فواصل زمنية يوجد بها القطع المكافئ أسفل المحور يا س ),
  • عدم المساواة مربع a x 2 + b x x c ≤ 0 لديه الحل الوحيد س = س 0 (يمنحك نقطة اتصال)

حيث × 0 - جذر مربع ثلاثي الحدود أ 2 × ب س س ج .

حل ثلاثي الحدود مربع دون الجذر

دعونا ننظر في الحالة الثالثة عندما يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى ولا تلمس المحور يا س . يتم توجيه فروع المكافئ لأعلى ، مما يعني ذلك > 0 . ثلاثي الحدود مربع لا يوجد لديه جذور حقيقية ، منذ ذلك الحين D 0 .

لا توجد فواصل زمنية على الرسم البياني تكون فيه القطع المكافئة أسفل محور الحدود. سنأخذ ذلك في الاعتبار عند اختيار لون للرسم لدينا.

اتضح ذلك مع > 0 و D 0 حل عدم المساواة المربع a x 2 + b x x c> 0 و a x 2 + b x x c ≥ 0 هي مجموعة من جميع الأرقام الحقيقية ، وعدم المساواة a x 2 + b x x c 0 و a x 2 + b x x c ≤ 0 ليس لديهم حلول.

نحن بحاجة إلى النظر في ثلاثة خيارات عندما يتم توجيه فروع القطع المكافئة. لا يمكن إيقاف هذه الخيارات الثلاثة بالتفصيل ، لأنه عندما نضرب طرفي اللامساواة ب - 1 ، نحصل على عدم مساواة مكافئ مع معامل إيجابي عند x 2.

هذا الفيديو التعليمي متاح عن طريق الاشتراك.

لديك بالفعل اشتراك؟ تسجيل الدخول

خلال الدرس ، ستتمكن من دراسة موضوع "حل الرسوم البيانية للمعادلات وعدم المساواة" بشكل مستقل. سيقوم المعلم في الدرس بتحليل الطرق الرسومية لحل المعادلات وعدم المساواة. سوف يعلمك كيفية بناء الرسوم البيانية وتحليلها والحصول على حلول للمعادلات وعدم المساواة. سيغطي الدرس أيضًا أمثلة محددة حول هذا الموضوع.

الموضوع: وظائف رقمية

الدرس: حل الرسم من المعادلات ، وعدم المساواة

1. موضوع الدرس ، مقدمة

درسنا الرسوم البيانية للوظائف الأولية ، بما في ذلك الرسوم البيانية لوظائف الطاقة مع الأسس المختلفة. درسنا أيضًا قواعد تحويل وتحويل الرسوم البيانية الوظيفية. يجب تطبيق كل هذه المهارات عند الحاجة. بيانيالقرار المعادلات أو الرسم القرارعدم المساواة.

2. حل المعادلات وعدم المساواة بيانيا

مثال 1. حل المعادلة بيانيا:

نرسم الرسوم البيانية وظيفة (الشكل 1).

الرسم البياني وظيفة

الرسم البياني للوظيفة عبارة عن خط مستقيم ، نقوم ببنائه وفقًا للجدول.

تتقاطع الرسوم البيانية عند نقطة تناقص رتابة ، مما يعني أن نقطة التقاطع فريدة.

الجواب هو:

مثال 2. حل مشكلة عدم المساواة

أ.

ب.

أ. من أجل تلبية عدم المساواة ، والرسم البياني وظيفة

ب. في هذه الحالة ، على العكس ، مكافئ

أ.

ب.

مثال 3. حل مشكلة عدم المساواة

نحن نبني الرسوم البيانية وظيفة (الشكل 2).

أوجد جذر المعادلة.

بحيث يحمل عدم المساواة.

الجواب هو:

مثال 4. حل مشكلة عدم المساواة بيانيا:

أ.

ب.

تحديد المنطقة:

نحن بناء الرسوم البيانية وظيفة (الشكل 3).

أ. الرسم البياني وظيفة

ب. الرسم البياني وظيفة

أ.

ب.

3. الخاتمة

درسنا الطريقة الرسومية لحل المعادلات وعدم المساواة ، درسنا أمثلة محددة ، في حل التي استخدمناها هذه الخصائص من وظائف مثل التوحيد والتكافؤ.

قائمة القراءة الموصى بها

1. موردكوفيتش إيه. وغيرها من خلايا الجبر 9: كتاب مدرسي. للتعليم العام. المؤسسات - الطبعة الرابعة - M .: Mnemozin ، 2002. - 192 ص.: مريض.

2. موردكوفيتش إيه. جبر الصف التاسع: كتاب المشكلات لطلاب المؤسسات التعليمية العامة / أ. ج. موردكوفيتش ، ت. ن. ميشوستينا وآخرون - الطبعة الرابعة. - M .: Mnemosyne ، 2002. - 143 p: Ill.

3. مكاريتشيف يو ن. الجبر. الصف التاسع: كتاب مدرسي. لطلاب التعليم العام. المؤسسات / Yu. N. Makarychev، N.G. Mindyuk، K.I. Neshkov، I.E Feoktistov. - الطبعة السابعة ، القس وأضف. - م: منيموسين ، 2008.

4- عليموف ش. ا. ، كولياجين يو ام ، سيدوروف ي. الجبر. الصف التاسع. السادس عشر - M. ، 2011 .-- 287 ص.

5. موردكوفيتش أ. جبر الجبر. الصف التاسع. في 2 ساعة ، الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية / A. G. Mordkovich ، P. V. Semenov. - الطبعة 12th. - M .: 2010. - 224 p .: Ill.

6. الجبر. الصف التاسع. في ساعتين ، الجزء 2. ألغاز لطلاب المؤسسات التعليمية / أ. ج. موردكوفيتش ، إل. أ. أليكساندروفا ، ت. ن. ميشوستينا وآخرين ، إد. إيه. ج. موردكوفيتش. - الطبعة الثانية عشر ، القس - م: 2010. - 223 صفحة: مريض.

روابط الإنترنت الموصى بها

1. College.ru قسم الرياضيات (المصدر).

2. مشروع الإنترنت "المهام" (المصدر).

3. بوابة التعليمية "أنا حل الامتحان" (المصدر).

أوصت الواجبات المنزلية

1. موردكوفيتش إيه. جبر الصف التاسع: كتاب المشكلات لطلاب المؤسسات التعليمية العامة / أ. ج. موردكوفيتش ، ت. ن. - M .: Mnemosyne ، 2002. - 143 p: Ill. رقم 355 ، 356 ، 364.

إذا وجدت خطأً أو رابطًا معطلاً ، فيرجى إخبارنا - قدم مساهمتك في تطوير المشروع.

شاهد الفيديو: معادلات القيم المطلقه وعدم المساواه (شهر نوفمبر 2020).

Pin
Send
Share
Send
Send